如圖，已知二次函式的圖象過點O（0，0）．A（8，4），與x軸交於另一點B，且對稱軸是直線x=3．（1）求該二...

問題詳情：

如圖，已知二次函式的圖象過點O（0，0）．A（8，4），與x軸交於另一點B，且對稱軸是直線x=3．

（1）求該二次函式的解析式；

（2）若M是OB上的一點，作MN∥AB交OA於N，當△ANM面積最大時，求M的座標；

（3）P是x軸上的點，過P作PQ⊥x軸與拋物線交於Q．過A作AC⊥x軸於C，當以O，P，Q為頂點的三角形與以O，A，C為頂點的三角形相似時，求P點的座標．

【回答】

【解答】解：（1）∵拋物線過原點，對稱軸是直線x=3，

∴B點座標為（6，0），

設拋物線解析式為y=ax（x﹣6），

把A（8，4）代入得a•8•2=4，解得a=，

∴拋物線解析式為y=x（x﹣6），即y=x2﹣x；

（2）設M（t，0），

易得直線OA的解析式為y=x，

設直線AB的解析式為y=kx+b，

把B（6，0），A（8，4）代入得，解得，

∴直線AB的解析式為y=2x﹣12，

∵MN∥AB，

∴設直線MN的解析式為y=2x+n，

把M（t，0）代入得2t+n=0，解得n=﹣2t，

∴直線MN的解析式為y=2x﹣2t，

解方程組得，則N（t，t），

∴S△AMN=S△AOM﹣S△NOM

=•4•t﹣•t•t

=﹣t2+2t

=﹣（t﹣3）2+3，

當t=3時，S△AMN有最大值3，此時M點座標為（3，0）；

（3）設Q（m，m2﹣m），

∵∠OPQ=∠ACO，

∴當=時，△PQO∽△COA，即=，

∴PQ=2PO，即|m2﹣m|=2|m|，

解方程m2﹣m=2m得m1=0（捨去），m2=14，此時P點座標為（14，28）；

解方程m2﹣m=﹣2m得m1=0（捨去），m2=﹣2，此時P點座標為（﹣2，4）；

∴當=時，△PQO∽△CAO，即=，

∴PQ=PO，即|m2﹣m|=|m|，

解方程m2﹣m=m得m1=0（捨去），m2=8（捨去），

解方程m2﹣m=﹣m得m1=0（捨去），m2=2，此時P點座標為（2，﹣1）；

綜上所述，P點座標為（14，28）或（﹣2，4）或（2，﹣1）．

【點評】本題考查了二次函式的綜合題：熟練掌握二次函式圖象上點的座標特徵和二次函式的*質；會利用待定係數法求函式解析式；理解座標與圖形*質；靈活運用相似比表示線段之間的關係；會運用分類討論的思想解決數學問題．

知識點：各地會考

題型：綜合題