如圖,BC是半⊙O的直徑,點P是半圓弧的中點,點A是弧BP的中點,AD⊥BC於D,連結AB、PB、AC,BP分...
問題詳情:
如圖,BC是半⊙O的直徑,點P是半圓弧的中點,點A是弧BP的中點,AD⊥BC於D,連結AB、PB、AC,BP分別與AD、AC相交於點E、F.
(1)求*:AE=BE;
(2)判斷BE與EF是否相等嗎,並說明理由;
(3)小李通過*作發現CF=2AB,請問小李的發現是否正確?若正確,請說明理由;若不正確,請寫出CF與AB正確的關係式.
【回答】
(1)見解析;(2)BE=EF,理由見解析;(3)小李的發現是正確的,理由見解析
【分析】
(1)如圖1,連線AP,由BC是半⊙O的直徑,AD⊥BC於D,得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°,於是得到∠ACB=∠BAD,根據圓周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP,即可求出結論;
(2)根據圓周角定理求出∠ABE=∠BAE,求出AE=BE,求出∠CAD=∠AFB,求出AE=EF,即可得出*;
(3)根據全等三角形的*質和判定求出BG=CF,AB=AG,即可得出*.
【詳解】
(1)如圖1,連線AP,
∵BC是半⊙O的直徑,
∴∠BAC=90°,
∵AD⊥BC於D,
∴∠ADB=90°,
∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ACB=∠BAD,
∵點A是弧BP的中點,
∴∠P=∠ACB=∠ABP,
∴∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE;
(2)BE=EF,
理由是:∵BC是直徑,AD⊥BC,
∴∠BAC=∠ADC=90°,
∴∠BAD=∠ACB,
∵A為弧BP中點,
∴∠ABP=∠ACB,
∴∠BAD=∠ABP,
∴BE=AE,∠FAD=∠AFB,
∴EF=AE,
∴BE=EF;
(3)小李的發現是正確的,
理由是:如圖2,延長BA、CP,兩線交於G,
∵P為半圓弧的中點,A是弧BP的中點,
∴∠PCF=∠GBP,∠CPF=∠BPG=90°,BP=PC,
在△PCF和△PBG中,
,
∴△PCF≌△PBG(ASA),
∴CF=BG,
∵BC為直徑,
∴∠BAC=90°,
∵A為弧BP中點,
∴∠GCA=∠BCA,
在△BAC和△GAC中,
/span>
∴△BAC≌△GAC(ASA),
∴AG=AB=BG,
∴CF=2AB.
【點睛】
本題考查了圓周角定理,圓心角、弧、弦之間的關係,全等三角形的*質和判定等知識點的應用,主要考查學生綜合運用*質進行推理和計算的能力,題目綜合*比較強,有一定的難度.
知識點:三角形全等的判定
題型:解答題
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