已知定義在（－∞，—1）∪（1，+∞）上的奇函式滿足：①f(3)=1;②對任意的x>2,均有f(x)&g...

問題詳情：

已知定義在（－∞，—1）∪（1，+∞）上的奇函式滿足：①f(3)=1;②對任意的x>2, 均有f(x)>0,③對任意的x>0,y>0.均有f(x+1)+f(y+1)=f(xy+1)                                                                                                                                                                                                                                                                                                              ⑴試求f(2)的值;

⑵*f(x)在(1,+∞)上單調遞增；

⑶是否存在實數a,使得f(cos2θ+asinθ)<3對任意的θ （0，π）恆成立？若存在，請求出a的範圍；若不存在，請說明理由。                                                  

【回答】

 解：1）令X=Y=1得f(2)+f(2)=f(2),∴f(2)=0…………(2分)

 2) 任取X1>1，X2>1，X2>X1，則有   從而，

即

∴f(x)在（1，+∞）上單調遞增……………（8分）

3）因為f(x)為奇函式，且在（1，+∞）上單調遞增，令X=Y=2，得f（5）=f（3）+f（3）=2，再令X=2，Y=4，得f(9)=f(3)+f(5)=3,

由因為f(x)為奇函式，所以,於是f(x)<3的解集為；

（-∞，-）∪（1，9），於是問題轉化為是否存在實數a,使對任意的θ∈（0，π）恆成立，令sinθ=t,則t∈(0,1]於是恆成立等價於恆成立.即恆成立，當t→0時，，故不存在實數a使對任意的

θ∈（0，π）恆成立.

1<cos2θ+asinθ<9恆成立等價於恆成立，得a>1,

t2-at+8>0,t∈(0,1]等價於，在（0，1]單調遞減，於是g(t)min=9,故a<9  於是存在a∈(1,9)使1<cos2θ+asinθ<9 對任意的θ∈（0，π）恆成立.

綜上知，存在實數a∈(1,9),使得對任意的θ∈（0，π）恆成立.

知識點：*與函式的概念

題型：解答題