如圖,矩形中,與相交於點,,將沿摺疊,點的對應點為,連線交於點,且,在邊上有一點,使得的值最小,此時( )A...
問題詳情:
如圖,矩形中,與相交於點,,將沿摺疊,點的對應點為,連線交於點,且,在邊上有一點,使得的值最小,此時( )
A. B. C. D.
【回答】
B
【解析】
設BD與AF交於點M.設AB=a,AD=a,根據矩形的*質可得△ABE、△CDE都是等邊三角形,利用摺疊的*質得到BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=a.解直角△BGM,求出BM,再表示DM,由△ADM∽△GBM,求出a=2,再*CF=CD=2.作B點關於AD的對稱點B′,連線B′E,設B′E與AD交於點H,則此時BH+EH=B′E,值最小.建立平面直角座標系,得出B(3,2),B′(3,-2),E(0,),利用待定係數法求出直線B′E的解析式,得到H(1,0),然後利用兩點間的距離公式求出BH=4,進而求出=.
【詳解】
如圖,設BD與AF交於點M.設AB=a,AD=a,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,tan∠ABD=,
∴BD=AC==2a,∠ABD=60°,
∴△ABE、△CDE都是等邊三角形,
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a,
∵將△ABD沿BD摺疊,點A的對應點為F,
∴BM垂直平分AF,BF=AB=a,DF=DA=a,
在△BGM中,∵∠BMG=90°,∠GBM=30°,BG=2,
∴GM=BG=1,BM=GM=,
∴DM=BD-BM=2a-,
∵矩形ABCD中,BC∥AD,
∴△ADM∽△GBM,
∴,即,
∴a=2,
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2,AD=BC=6,BD=AC=4,
易*∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°,
∴△ADF是等邊三角形,
∵AC平分∠DAF,
∴AC垂直平分DF,
∴CF=CD=2,
作B點關於AD的對稱點B′,連線B′E,設B′E與AD交於點H,則此時BH+EH=B′E,值最小.
如圖,建立平面直角座標系,
則A(3,0),B(3,2),B′(3,-2),E(0,),
易求直線B′E的解析式為y=-x+,
∴H(1,0),
∴BH==4,
∴=.
故選:B.
【點睛】
本題考查了摺疊的*質:摺疊是一種對稱變換,它屬於軸對稱,摺疊前後圖形的形狀和大小不變,位置變化,對應邊和對應角相等.也考查了矩形的*質,解直角三角形,等邊三角形、垂直平分線、相似三角形的判定與*質,待定係數法求直線的解析式,軸對稱-最短路線問題,兩點間的距離公式等知識.綜合*較強,有一定難度.分別求出BH、CF的長是解題的關鍵.
知識點:軸對稱
題型:選擇題
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