如圖，直線交y軸於點A，交x軸於點C，拋物線經過點A，點C，且交x軸於另一點B．   （1）直接寫出點A，點B...

問題詳情：

如圖，直線交y軸於點A，交x軸於點C，拋物線經過點A，點C，且交x軸於另一點B．

（1）直接寫出點A，點B，點C的座標及拋物線的解析式；

（2）在直線上方的拋物線上有一點M，求四邊形面積的最大值及此時點M的座標；

（3）將線段繞x軸上的動點順時針旋轉90°得到線段，若線段與拋物線只有一個公共點，請結合函式圖象，求m的取值範圍．

【回答】

（1）A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），拋物線的解析式是；（2）四邊形面積的最大值為8，點M的座標為（2，2）；（3）或．

【解析】（1）對直線，分別令x=0，y=0求出相應的y，x的值即得點A、C的座標，根據待定係數法即可求出拋物線的解析式，利用拋物線的對稱*即可求出點B的座標；

（2）過點M作ME⊥x軸於點E，交直線AC於點F，如圖1所示．設點M的橫座標為m，則MF的長可用含m的代數式表示，然後根據S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC即可得出S四邊形ABCM關於m的函式關係式，再利用二次函式的*質即可求出四邊形面積的最大值及點M的座標；

（3）當m＞0時，分旋轉後點與點落在拋物線上時，分別畫出圖形如圖2、圖3，分別用m的代數式表示出點與點的座標，然後代入拋物線的解析式即可求出m的值，進而可得m的範圍；當m＜0時，用同樣的方法可再求出m的一個範圍，從而可得結果．

【詳解】

解：（1）對直線，當x=0時，y=2，當y=0時，x=4，

∴點A的座標是（0，2），點C的座標是（4，0），

把點A、C兩點的座標代入拋物線的解析式，得：

，解得：，

∴拋物線的解析式為，

∵拋物線的對稱軸是直線，C（4，0），

∴點B的座標為（﹣2，0）；

∴A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），拋物線的解析式是；

（2）過點M作ME⊥x軸於點E，交直線AC於點F，如圖1所示．

設M（m，），則F（m，），

∴，

∴S四邊形ABCM=S△ABC+S△AMC

=

，

∵0＜m＜4，

∴當m=2時，四邊形面積最大，最大值為8，此時點M的座標為（2，2）；

（3）若m＞0，當旋轉後點落在拋物線上時，如圖2，線段與拋物線只有一個公共點，

∵點的座標是（m+2，m），

∴，解得：或（捨去）；

當旋轉後點落在拋物線上時，如圖3，線段與拋物線只有一個公共點，

∵點的座標是（m，m），

∴，解得：m=2或m=﹣4（捨去）；

∴當m＞0時，若線段與拋物線只有一個公共點，m的取值範圍是：；

若m＜0，當旋轉後點落在拋物線上時，如圖4，線段與拋物線只有一個公共點，

∵點的座標是（m，m），

∴，解得：m=﹣4或m=2（捨去）；

當旋轉後點落在拋物線上時，如圖5，線段與拋物線只有一個公共點，

∵點的座標是（m+2，m），

∴，解得： 或（捨去）；

∴當m＜0時，若線段與拋物線只有一個公共點，m的取值範圍是：；

綜上，若線段與拋物線只有一個公共點，m的取值範圍是：或．

【點睛】本題是二次函式的綜合題，主要考查了待定係數法求二次函式的解析式、旋轉的*質、一元二次方程的解法、二次函式的圖象與*質以及拋物線上點的座標特點等知識，具有較強的綜合*，屬於會考壓軸題，熟練掌握二次函式的圖象與*質、靈活應用數形結合的思想是解題的關鍵．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題