如圖,已知四稜錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形,∠BCD=60°,點E是BC邊的中點,AC,DE交於點O,...
問題詳情:
如圖,已知四稜錐P-ABCD的底面是邊長為2的菱形,∠BCD=60°,點E是BC邊
的中點,AC,DE交於點O,PO=2,且PO⊥平面ABCD.
(1)求*:PD⊥BC;
(2)線上段AP上找一點F,使得BF∥平面PDE,
並求此時四面體PDEF的體積.
【回答】
(1)由題可得△BCD為正三角形,E為BC中點,故DE⊥BC.
又PO⊥平面ABCD,BC平面ABCD,則PO⊥BC,
而DE∩PO=O,平面,
所以BC⊥平面PDE.
又PD平面PDE,故PD⊥BC.
(2)取AP中點為F,再取PD中點為G,連結FG.
則FG為△PAD中位線,故FG AD,
又BE AD,所以FGBE,於是四邊形BFGE為平行四邊形,
因此BF∥EG.又BF平面PDE,EG平面PDE,
所以BF∥平面PDE.
由(1)知,BC⊥平面PDE.則有BC⊥PE,BC⊥DE,
而BC∥FG,故FG⊥PE,FG⊥DE,且DE∩PE=E,
所以FG⊥平面PDE.
於是四面體PDEF的體積為V=S△PDE·FG=××2××1=1.
另解(等體積轉化):因為BF//面PDE,則B,F兩點到平面PDE的距離相等,
所以四面體PDEF的體積等於四面體PDEB,
因為PO⊥平面ABCD,所以VP-BDE=·PO·S△BDE=1.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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