已知橢圓的離心率為,橢圓C的長軸長為4.(1)求橢圓C的方程;(2)已知直線與橢圓C交於A,B兩點,是否存在實...
問題詳情:
已知橢圓的離心率為,橢圓C的長軸長為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線與橢圓C交於A, B兩點,是否存在實數k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經過座標原點O?若存在,求出k的值;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)設橢圓的焦半距為c,則由題設,得,
解得,所以,
故所求橢圓C的方程為.
(2)存在實數k使得以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O.
理由如下:
設點,,
將直線的方程代入,
並整理,得.(*)
則,.
因為以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O,
所以,即.
又,
於是,解得,
經檢驗知:此時(*)式的Δ>0,符合題意.
所以當時,以線段AB為直徑的圓恰好經過座標原點O.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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