已知在平面直角座標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設點.（1）求該橢圓的標準方程；（2）若...

問題詳情：

已知在平面直角座標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為，設點.

（1）求該橢圓的標準方程；

（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；

（3）過原點的直線交橢圓於點，求面積的最大值.

【回答】

（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）由"左焦點為，右頂點為"得到橢圓的半長軸，半焦距，再求得半短軸最後由橢圓的焦點在軸上求得方程；（2）設線段的中點為，點的座標是，由中點座標公式，分別求得，代入橢圓方程，可求得線段中點的軌跡方程；（3）分直線垂直於軸時和直線不垂直於軸兩種情況分析，求得弦長，原點到直線的距離建立三角形面積模型，再用基本不等式求其最值.

試題解析：（1）橢圓的標準方程為.

（2）設線段的中點為，點的座標是，

由，得

點在橢圓上，得

∴線段中點的軌跡方程是.

（3）當直線垂直於軸時， ，因此的面積.

當直線不垂直於軸時，該直線方程為，代入，

解得， ，

則，又點到直線的距離，

∴的面積

於是

由，得，其中，當時，等號成立.

∴的最大值是.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題