在平面直角座標系xOy中,直線l與拋物線y2=4x相交於不同的A,B兩點.(1)如果直線l過拋物線的焦點,求·...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中,直線l與拋物線y2=4x相交於不同的A,B兩點.

(1)如果直線l過拋物線的焦點,求·的值;

(2)如果·=-4,*:直線l必過一定點,並求出該定點.

【回答】

解:(1)由題意,拋物線焦點座標為(1,0),

設l:x=ty+1,

代入拋物線y2=4x,

消去x得y2-4ty-4=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),

則y1+y2=4t,y1y2=-4,

所以·=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2

=t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2

=-4t2+4t2+1-4

=-3.

(2)設l:x=ty+b,代入拋物線y2=4x,

消去x得y2-4ty-4b=0,

設A(x1,y1),B(x2,y2),

則y1+y2=4t,y1y2=-4b,

所以·=x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2

=t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2

=-4bt2+4bt2+b2-4b

=b2-4b.

令b2-4b=-4,

所以b2-4b+4=0,

所以b=2,

所以直線l過定點(2,0).

所以若·=-4,

則直線l必過一定點(2,0).

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題