如图,三棱锥的侧面是等腰直角三角形,,,,且.(1)求*:平面平面;(2)求二面角的余弦值.
问题详情:
如图,三棱锥的侧面是等腰直角三角形,,,
,且.
(1)求*:平面平面;
(2)求二面角的余弦值.
【回答】
解:(1)*:如图,取BD中点E,连结、,················ 1分
因为是等腰直角三角形,
所以,··························· 2分
设,则,···················· 3分
在中,由余弦定理得:
,············ 4分
因为,,
所以,即,·················· 5分
又,,
所以平面,
所以平面平面;···················· 6分
(2)解法一:过点E在平面内作交于点F,由(I)知平面,
分别以为x轴,y轴,z轴建立如图空间直角坐标系,····· 7分
不妨设,
则:,············· 8分
则,,,·········· 9分
设平面的法向量,
则,取,··········· 10分
设平面的法向量,
则,取,········ 11分
所以,
因为二面角的平面角是锐角,
所以二面角的余弦值为.······························· 12分
解法二:过点D作DN⊥AC于点N,
设D在平面ABC上的*影为M,连接MN,
则AC⊥MN,所以∠DNM为所求二面角的平面角,·············································· 7分
设AB=1,则AD=1,BD=CD=,AC=2,BC=,
在△ADC中,cos∠DAC=,
所以DN=,································ 8分
在△ABC中,cos∠BAC=,所以sin∠BAC=,········································· 9分
由,
所以,
即,························································ 11分
在△DMN中,sin∠DNM=,
所以cos∠DNM=,
所以二面角的余弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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