《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑...
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《九章算术》中将底面的长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为蟞臑.在如图所示的阳马P﹣ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD=BC,则当点E在下列四个位置:PA中点、PB中点、PC中点、PD中点时分别形成的四面体E﹣BCD中,蟞臑有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
B【考点】直线与平面垂直的*质.
【分析】分情况讨论:(1)当点E在PC中点时,*BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即可得出结论;
(2)当点E在PA中点时:以D为原点,分别以DA,DC,DP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设PD=DC=BC=1,则可求BC,BE,EC三边长不满足勾股定理,可得△EBC不是直角三角形,故故四面体E﹣BCD不是蟞臑.
(3)当点E在PB中点时:易*△BCE不是直角三角形(同上),可得四面体E﹣BCD不是蟞臑.
(4)当点E在PD中点时:由BC⊥平面ECD,DE⊥平面DBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑.
【解答】*:(1)当点E在PC中点时:
因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC,
因为ABCD为正方形,所以BC⊥CD,
因为PD∩CD=D,
所以BC⊥平面PCD,
因为DE⊂平面PCD,
所以BC⊥DE,
因为PD=CD,点E是PC的中点,
所以DE⊥PC,
因为PC∩BC=C,
所以DE⊥平面PBC,
由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,
即四面体EBCD是一个鳖臑,其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE,∠DEC,∠DEB;
(2)当点E在PA中点时:如图,以D为原点,分别以DA,DC,DP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
设PD=DC=BC=1,则:C(0,1,0),B(1,1,0),D(0,0,0),E(,0,),
可求:BC=1,BE=,EC=,三边长不满足勾股定理,可得△EBC不是直角三角形,
故故四面体E﹣BCD不是蟞臑.
(3)如下图当点E在PB中点时:易*△BCE不是直角三角形(同上),故四面体E﹣BCD不是蟞臑.
(4)如下图当点E在PD中点时:
由BC⊥平面ECD,DE⊥平面DBC,可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,
即四面体EBCD是一个鳖臑.
故选:B.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:选择题
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