如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD是邊長爲2的等邊三角形且垂直於底,是的中點.(1)*:直線平面;(2)...
問題詳情:
如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD是邊長爲2的等邊三角形且垂直於底,是的中點.
(1)*:直線平面;
(2)點在棱上,且直線與底面所成角爲,求二面角的餘弦值.
【回答】
(1)見解析;(2)
【詳解】
試題分析:(1) 取的中點,連結,,由題意*得∥,利用線面平行的判斷定理即可*得結論;(2)建立空間直角座標系,求得半平面的法向量:,,然後利用空間向量的相關結論可求得二面角的餘弦值爲.
試題解析:(1)取中點,連結,.
因爲爲的中點,所以,,由得,又
所以.四邊形爲平行四邊形, .
又,,故
(2)
由已知得,以A爲座標原點,的方向爲x軸正方向,爲單位長,建立如圖所示的空間直角座標系A-xyz,則
則,,,,
,則
因爲BM與底面ABCD所成的角爲45°,而是底面ABCD的法向量,所以
,
即(x-1)²+y²-z²=0
又M在棱PC上,設
由①,②得
所以M,從而
設是平面ABM的法向量,則
所以可取.於是
因此二面角M-AB-D的餘弦值爲
點睛:(1)求解本題要注意兩點:①兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角,②利用方程思想進行向量運算,要認真細心、準確計算.
(2)設m,n分別爲平面α,β的法向量,則二面角θ與<m,n>互補或相等,故有|cos θ|=|cos<m,n>|=.求解時一定要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題
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