.如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD爲等邊三角形且垂直於底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC...
問題詳情:
.如圖,四棱錐P-ABCD中,側面PAD爲等邊三角形且垂直於底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°,E是PD的中點.
(1)*:直線CE∥平面PAB;
(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角爲45°,求二面角M-AB-D的餘弦值.
【回答】
.(1)*取PA的中點F,連接EF,BF.
因爲E是PD的中點,所以EF∥AD,EF=AD.
由∠BAD=∠ABC=90°得BC∥AD,
又BC=AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CE∥BF,
又BF⊂平面PAB,CE⊄平面PAB,故CE∥平面PAB.
(2)解由已知得BA⊥AD,以A爲座標原點,的方向爲x軸正方向,||爲單位長,建立如圖所示的空間直角座標系A-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,),=(1,0,-),=(1,0,0).
設M(x,y,z)(0<x<1),則=(x-1,y,z),=(x,y-1,z-).
因爲BM與底面ABCD所成的角爲45°,而n=(0,0,1)是底面ABCD的法向量,
所以|cos<,n>|=sin45°,,
即(x-1)2+y2-z2=0. ①
又M在棱PC上,設=,則
x=λ,y=1,z= ②
由①②解得(捨去),所以M,從而
設m=(x0,y0,z0)是平面ABM的法向量,則
即
所以可取m=(0,-,2).
於是cos<m,n>=
因此二面角M-AB-D的餘弦值爲
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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