如圖,A(-5,0),B(-3,0),點C在y軸的正半軸上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°.點...
問題詳情:
如圖,A(-5,0),B(-3,0),點C在y軸的正半軸上,∠CBO=45°,CD∥AB.∠CDA=90°.點P從點Q(4,0)出發,沿x軸向左以每秒1個單位長度的速度運動,運動時時間t秒.
(1)求點C的座標;
(2)當∠BCP=15°時,求t的值;
(3)以點P為圓心,PC為半徑的⊙P隨點P的運動而變化,當⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時,求t的值.
【回答】
(1)C (0,3);(2)t的值為4+或4+3;(3)t的值為1或4或5.6.
【解析】
試題分析:(1)由∠CBO=45°,∠BOC為直角,得到△BOC為等腰直角三角形,又OB=3,利用等腰直角三角形AOB的*質知OC=OB=3,然後由點C在y軸的正半軸可以確定點C的座標; (2)需要對點P的位置進行分類討論:①當點P在點B右側時,如圖2所示,由∠BCO=45°,用∠BCO-∠BCP求出∠PCO為30°,又OC=3,在Rt△POC中,利用銳角三角函式定義及特殊角的三角函式值求出OP的長,由PQ=OQ+OP求出運動的總路程,由速度為1個單位/秒,即可求出此時的時間t;②當點P在點B左側時,如圖3所示,用∠BCO+∠BCP求出∠PCO為60°,又OC=3,在Rt△POC中,利用銳角三角函式定義及特殊角的三角函式值求出OP的長,由PQ=OQ+OP求出運動的總路程,由速度為1個單位/秒,即可求出此時的時間t; (3)當⊙P與四邊形ABCD的邊(或邊所在的直線)相切時,分三種情況考慮: ①當⊙P與BC邊相切時,利用切線的*質得到BC垂直於CP,可得出∠BCP=90°,由∠BCO=45°,得到∠OCP=45°,即此時△COP為等腰直角三角形,可得出OP=OC,由OC=3,得到OP=3,用OQ-OP求出P運動的路程,即可得出此時的時間t; ②當⊙P與CD相切於點C時,P與O重合,可得出P運動的路程為OQ的長,求出此時的時間t; ③當⊙P與AD相切時,利用切線的*質得到∠DAO=90°,得到此時A為切點,由PC=PA,且PA=9-t,PO=t-4,在Rt△OCP中,利用勾股定理列出關於t的方程,求出方程的解得到此時的時間t. 綜上,得到所有滿足題意的時間t的值.
試題解析::(1)∵∠BCO=∠CBO=45°, ∴OC=OB=3, 又∵點C在y軸的正半軸上, ∴點C的座標為(0,3); (2)分兩種情況考慮: ①當點P在點B右側時,如圖2,
若∠BCP=15°,得∠PCO=30°, 故PO=CO•tan30°=,此時t=4+; ②當點P在點B左側時,如圖3,
由∠BCP=15°,得∠PCO=60°, 故OP=COtan60°=3, 此時,t=4+3, ∴t的值為4+或4+3; (3)由題意知,若⊙P與四邊形ABCD的邊相切時,有以下三種情況: ①當⊙P與BC相切於點C時,有∠BCP=90°, 從而∠OCP=45°,得到OP=3,此時t=1; ②當⊙P與CD相切於點C時,有PC⊥CD,即點P與點O重合,此時t=4; ③當⊙P與AD相切時,由題意,得∠DAO=90°, ∴點A為切點,如圖4,PC2=PA2=(9-t)2,PO2=(t-4)2, 於是(9-t)2=(t-4)2+32,即81-18t+t2=t2-8t+16+9, 解得:t=5.6, ∴t的值為1或4或5.6.
知識點:正多邊形和圓
題型:解答題
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