在△ABC中，AB＝AC.(1)如圖①，若∠BAC＝45°，AD和CE是高，它們相交於點H.求*：AH＝2BD...

問題詳情：

在△ABC中，AB＝AC.

(1)如圖①，若∠BAC＝45°，AD和CE是高，它們相交於點H.求*：AH＝2BD；

(2)如圖②，若AB＝AC＝10釐米，BC＝8釐米，點M為AB的中點，點P線上段BC上以3釐米/秒的速度由B點向C點運動，同時，點Q線上段CA上由C點向A點運動．如果在運動過程中存在某一時刻使得△BPM與△CQP全等，那麼點Q的運動速度為多少？點P，Q運動的時間t為多少？

【回答】

解：(1)*：在△ABC中，∵∠BAC＝45°，CE⊥AB，∴AE＝CE，又∵AD⊥BC，∴∠EAH＋∠B＝∠ECB＋∠B＝90°，∴∠EAH＝∠ECB，在△AEH和△CEB中，∴△AEH≌△CEB(ASA)，∴AH＝BC，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴BD＝CD，∴BC＝2BD，∴AH＝2BD.(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△BPM與△CQP全等有兩種情況：△BPM≌△CPQ 或△BPM≌△CQP.當△BPM≌△CPQ時，BP＝PC＝4釐米，CQ＝BM＝5釐米，∴點P，點Q運動的時間t＝＝秒，∴vQ＝＝＝(釐米/秒)．當△BPM≌△CQP時，BP＝CQ，∴vQ＝vP＝3釐米/秒．此時 PC＝BM＝5釐米，t＝＝1秒．綜上所述，點Q的運動速度為釐米/秒，t＝秒或點Q的運動速度為3釐米/秒，t＝1秒時，△BPM與△CQP全等．