如圖,在正方形ABCD中,E是BC邊上的一點,BE=4,EC=8,將正方形邊AB沿AE摺疊到AF,延長EF交D...
問題詳情:
如圖,在正方形ABCD中,E是BC邊上的一點,BE=4,EC=8,將正方形邊AB沿AE摺疊到AF,延長EF交DC於G,連線AG,現在有如下四個結論:①∠EAG=45°;②FG=FC;③FC∥AG;④S△GFC=14.其中結論正確的序號是_____.
【回答】
①③.
【解析】
【分析】
*∠GAF=∠GAD,∠EAB=∠EAF即可判斷①.*DG=GC=FG,顯然△GFC不是等邊三角形,可得判斷②.*CF⊥DF,AG⊥DF即可判斷③.*FG:EG=3:5,求出△ECG的面積即可判斷④.
【詳解】
如圖,連線DF.
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD=BC=CD,∠ABE=∠BAD=∠ADG=∠ECG=90°,
由翻折可知:AB=AF,∠ABE=∠AFE=∠AFG=90°,BE=EF=4,∠BAE=∠EAF,
∵∠AFG=∠ADG=90°,AG=AG,AD=AF,
∴Rt△AGD≌Rt△AGF(HL),
∴DG=FG,∠GAF=∠GAD,設GD=GF=x,
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=(∠BAF+∠DAF)=45°,故①正確,
在Rt△ECG中,∵EG2=EC2+CG2,
∴(4+x)2=82+(12﹣x)2,
∴x=6,
∵CD=BC=BE+EC=12,
∴DG=CG=6,
∴FG=GC,
易知△GFC不是等邊三角形,顯然FG≠FC,故②錯誤,
∵GF=GD=GC,
∴∠DFC=90°,
∴CF⊥DF,
∵AD=AF,GD=GF,
∴AG⊥DF,
∴CF∥AG,故③正確,
∵S△ECG=×6×8=24,FG:FE=6:4=3:2,
∴FG:EG=3:5,
∴S△GFC=×24=,故④錯誤,
故*為:①③.
【點睛】
本題考查翻折變換,正方形的*質,全等三角形的判定和*質,勾股定理等知識,解題時常常設要求的線段長為x,然後根據摺疊和軸對稱的*質用含x的代數式表示其他線段的長度,選擇適當的直角三角形,運用勾股定理列出方程求出*.
知識點:特殊的平行四邊形
題型:填空題
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