如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延長線交BA的延長線於...

問題詳情：

如圖，正方形ABCD的邊長為4，點E，F分別在邊AB，AD上，且∠ECF＝45°，CF的延長線交BA的延長線於點G，CE的延長線交DA的延長線於點H，連線AC，EF．，GH．

（1）填空：∠AHC　   　∠ACG；（填“＞”或“＜”或“＝”）

（2）線段AC，AG，AH什麼關係？請說明理由；

（3）設AE＝m，

①△AGH的面積S有變化嗎？如果變化．請求出S與m的函式關係式；如果不變化，請求出定值．

②請直接寫出使△CGH是等腰三角形的m值．

【回答】

（1）=；（2）結論：AC2＝AG•AH．理由見解析；（3）①△AGH的面積不變．②m的值為或2或8﹣4．.

【解析】

（1）*∠DAC=∠AHC+∠ACH=45°，∠ACH+∠ACG=45°，即可推出∠AHC=∠ACG；

（2）結論：AC2=AG•AH．只要*△AHC∽△ACG即可解決問題；

（3）①△AGH的面積不變．理由三角形的面積公式計算即可；

②分三種情形分別求解即可解決問題.

【詳解】

（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝CB＝CD＝DA＝4，∠D＝∠DAB＝90°∠DAC＝∠BAC＝45°，

∴AC＝，

∵∠DAC＝∠AHC+∠ACH＝45°，∠ACH+∠ACG＝45°，

∴∠AHC＝∠ACG．

故*為＝．

（2）結論：AC2＝AG•AH．

理由：∵∠AHC＝∠ACG，∠CAH＝∠CAG＝135°，

∴△AHC∽△ACG，

∴，

∴AC2＝AG•AH．

（3）①△AGH的面積不變．

理由：∵S△AGH＝•AH•AG＝AC2＝×（4）2＝16．

∴△AGH的面積為16．

②如圖1中，當GC＝GH時，易*△AHG≌△BGC，

可得AG＝BC＝4，AH＝BG＝8，

∵BC∥AH，

∴,

∴AE＝AB＝．

如圖2中，當CH＝HG時，

易*AH＝BC＝4，

∵BC∥AH，

∴＝1，

∴AE＝BE＝2．

如圖3中，當CG＝CH時，易*∠ECB＝∠DCF＝22.5．

在BC上取一點M，使得BM＝BE，

∴∠BME＝∠BEM＝45°，

∵∠BME＝∠MCE+∠MEC，

∴∠MCE＝∠MEC＝22.5°，

∴CM＝EM，設BM＝BE＝m，則CM＝EMm，

∴m+m＝4，

∴m＝4（﹣1），

∴AE＝4﹣4（﹣1）＝8﹣4，

綜上所述，滿足條件的m的值為或2或8﹣4．

【點睛】

本題屬於四邊形綜合題，考查了正方形的*質，全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．

知識點：相似三角形

題型：解答題