已知函式，若同時滿足條件：①∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；②∀x∈（8，+∞），f（x）...

問題詳情：

已知函式，若同時滿足條件：

①∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點；

②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0．

則實數a的取值範圍是（　　）

【回答】

考點：

函式在某點取得極值的條件；利用導數求閉區間上函式的最值．

專題：

導數的綜合應用．

分析：

求導數，由①得到；

由②∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大於0即可，

分別解出不等式即可得到實數a的取值範圍為4＜a≤8．

解答：

解：由於，則=

令f′（x）=0，則，

故函式f（x）在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上遞增，在（x1，x2）上遞減

由於∀x∈（8，+∞），f（x）＞0，故只需f（x）在（8，+∞）上的最小值大於0即可，

當x2＞8，即時，函式f（x）在（8，+∞）上的最小值為，此時無解；

當x2≤8，即時，函式f（x）在（8，+∞）上的最小值為，解得a≤8．

又由∃x0∈（0，+∞），x0為f（x）的一個極大值點，故解得a＞4；

故實數a的取值範圍為4＜a≤8

故*為 A

點評：

本題考查函式在某點取得極值的條件，屬於基礎題．

知識點：導數及其應用

題型：選擇題