閱讀材料:已知,如圖(1),在面積為S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,內切圓O的半徑為r.連線OA...
問題詳情:
閱讀材料:
已知,如圖(1),在面積為S的△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,內切圓O的半徑為r.連線OA、OB、OC,△ABC被劃分為三個小三角形.
∵S=S△OBC+S△OAC+S△OAB=BC•r+AC•r+AB•r=(a+b+c)r.
∴r=.
(1)類比推理:若面積為S的四邊形ABCD存在內切圓(與各邊都相切的圓),如圖(2),各邊長分別為AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,求四邊形的內切圓半徑r;
(2)理解應用:如圖(3),在四邊形ABCD中,⊙O1與⊙O2分別為△ABD與△BCD的內切圓,⊙O1與△ABD切點分別為E、F、G,設它們的半徑分別為r1和r2,若∠ADB=90°,AE=4,BC+CD=10,S△DBC=9,r2=1,求r1的值.
【回答】
解:(1)連線OA,OB,OC,OD,
∵S四邊形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△AOD+S△COD=(a+b+c+d)r,
∴r=;
(2)∵S△DBC=9,r2=1,
∴BC+CD+BD==18,
∵BC+CD=10,
∴BD=8.
∵⊙O1是△ABD的內切圓,
∴AE=AG=4,BE=BF,DF=DG,
∴DG+BE=BD=8,
∴設DG=x,則BE=8﹣x,
∵∠ADB=90°,
∴AD2+BD2=AB2,即(4+x)2+82=(4+8﹣x)2,解得x=2,
∴AD=AG+DG=4+2=6,
∴S△ABD=AD•BD=×6×8=24,
∵AD+AB+BD=AG+AE+(DG+BE)+BD=4+4+8+8=24,
∴r1===2.
知識點:點和圓、直線和圓的位置關係
題型:解答題
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