定義：有兩條邊長的比值為的直角三角形叫“潛力三角形”．如圖，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中點，E是C...

問題詳情：

定義：有兩條邊長的比值為的直角三角形叫“潛力三角形”．如圖，在△ABC中，∠B=90°，D是AB的中點，E是CD的中點，DF∥AE交BC於點F．

（1）設“潛力三角形”較短直角邊長為a，斜邊長為c，請你直接寫出的值為　   　；

（2）若∠AED=∠DCB，求*：△BDF是“潛力三角形”；

（3）若△BDF是“潛力三角形”，且BF=1，求線段AC的長．

【回答】

（1）解：分兩種情況：

①當=時， =2；

②設另一條直角邊長為b，當=時，b=2a，

∵∠B=90°，

∴c==a，

∴=；

故*為：2或；

（2）*：延長AE交BC於G，如圖所示：

∵DF∥AE，D是AB的中點，

∴∠AED=∠CDF，BF=GF，

∵∠AED=∠DCB，

∴∠CDF=∠DCB，

∴DF=CF，

∵DF∥AE，E是CD的中點，

∴CG=GF，

∴BF=GF=CG，

∴DF=CF=2GF=2BF，

∴=，

又∵∠B=90°，

∴△BDF是“潛力三角形”；

（3）解：延長AE交BC於G，如圖所示．

分四種情況：

①當=時，

∵BF=1，

∴GF=CG=BF=1，BD=2，

∴AB=2BD=4，BC=3，

∴AC===5；

②當=2時，DF=2BF=2，

∴BD===，

∴AB=2BD=2，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC===；

③當=時，BD=BF=，

∴AB=2BD=1，

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC===；

④當=時，

設BD=x，則DF=2x，

由勾股定理得：（2x）2﹣x2=12，

解得：x=，

∴AB=2BD=，[來源:Z§xx§]

∵BC=3，∠B=90°，

∴AC===；

綜上所述：若△BDF是“潛力三角形”，且BF=1，線段AC的長為5或或或．

知識點：勾股定理

題型：解答題