新晨投資公司擬投資開發某項新產品,市場評估能獲得10～1000萬元的投資收益.現公司準備制定一個對科研課題組的...

問題詳情：

新晨投資公司擬投資開發某項新產品,市場評估能獲得10～1000萬元的投資收益.現公司準備制定一個對科研課題組的獎勵方案:獎金y(單位:萬元)隨投資收益x(單位:萬元)的增加而增加,且獎金不低於1萬元,同時不超過投資收益的20%.

(1)設獎勵方案的函式模型為f(x),試用數學語言表述公司對獎勵方案的函式模型f(x)的基本要求.

(2)下面是公司預設的兩個獎勵方案的函式模型:

①f(x)=+2;②f(x)=4lgx-2.

試分別分析這兩個函式模型是否符合公司要求.

【回答】

【解析】(1)由題意知,公司對獎勵方案的函式模型f(x)的基本要求是:

當x∈[10,1000]時,

①f(x)是增函式;②f(x)≥1恆成立;③f(x)≤恆成立,

(2)①對於函式模型f(x)=+2:

當x∈[10,1000]時,f(x)是增函式,

則f(x)≥1顯然恆成立,

而若使函式f(x)=+2≤在[10,1000]上恆成立,整理即29x≥300恆成立,而(29x)min=290,所以f(x)≤不恆成立.

故該函式模型不符合公司要求.

②對於函式模型f(x)=4lgx-2:

當x∈[10,1000]時,f(x)是增函式,

則f(x)min=f(10)=4lg10-2=2>1.

所以f(x)≥1恆成立.

設g(x)=4lgx-2-,則g′(x)=-.

當x≥10時,g′(x)=-≤=<0,

所以g(x)在[10,1000]上是減函式,

從而g(x)≤g(10)=4lg10-2-2=0.

所以4lgx-2-≤0,即4lgx-2≤,所以f(x)≤恆成立.

故該函式模型符合公司要求.

知識點：統計案例

題型：解答題