如圖,動圓C1:x2+y2=t2,1<t<3,與橢圓C2:+y2=1相交於A,B,C,D四點,點A...
問題詳情:
如圖,動圓C1:x2+y2=t2,1<t<3,與橢圓C2:+y2=1
相交於A,B,C,D四點,點A1,A2分別為C2的左,右頂點.
(1)當t為何值時,矩形ABCD的面積取得最大值?並求出其最大面積.
(2)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程.
【回答】
解 (1)設A(x0,y0),則S矩形ABCD=4|x0y0|,
由+y=1得y=1-,
從而xy=x=-2+.
當x=,y=時,Smax=6.
從而t2=x+y=5,t=,
∴當t=時,矩形ABCD的面積取到最大值6.
(2)由橢圓C2:+y2=1,知A1(-3,0),A2(3,0),
又曲線的對稱*及A(x0,y0),得B(x0,-y0),
設點M的座標為(x,y),
直線AA1的方程為y= (x+3).①
直線A2B的方程為y= (x-3).②
由①②得y2=③
又點A(x0,y0)在橢圓C上,故y=1-.④
將④代入③得-y2=1(x<-3,y<0).
因此點M的軌跡方程為-y2=1(x<-3,y<0).
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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