已知數列（其中第一項是，接下來的項是，再接下來的項是，依此類推）的前項和為，下列判斷：①是的第項；②存在常數，...

問題詳情：

已知數列（其中第一項是，接下來的項是，再接下來的項是，依此類推）的前項和為，下列判斷：

①是的第項；②存在常數，使得恆成立；③；④滿足不等式的正整數的最小值是.

其中正確的序號是（    ）

A．①③                      B．①④                      C．①③④                  D．②③④

【回答】

B

【解析】

找出數列的規律：分母為的項有項，並將這些項排成楊輝三角形式的數陣，使得第有項，每項的分母均為，並計算出每行各項之和，並計算出數列的前項和，結合這些規律來判斷各題的正誤。

【詳解】

由題意可知，數列的規律為：分母為的項有項，將數列中的項排成楊輝三角數陣，且使得第行每項的分母為，該行有項，如下所示：

對於命題①，位於數陣第行最後一項，對應於數列的項數為

，命題①正確；

對於命題②，數陣中第行各項之和為，則，

且數列的前項之和為

，

當時，，因此，不存在正數，使得，命題②錯誤；

對於命題③，易知第行最後一項位於數列的項數為

，

第行最後一項位於數列的項數為，且，

則位於數陣第行第項（即），

所以，

           ，命題③錯誤；

由①知，，且，

則恰好滿足的項位於第行，假設位於第項，

則有，可得出，

由於，，則，，

因此，滿足的最小正整數，命題④正確。

故選：B.

【點睛】

本題考查歸納推理，考查與數列相關的知識，關鍵要找出數列的規律，在解題時可以將規律轉化為楊輝三角來處理，在做題過程中找出項與數陣中相對應的位置，綜合*較強，屬於難題。

知識點：數列

題型：選擇題