已知無窮數列的首項，.（Ⅰ）*：；（Ⅱ）記，為數列的前項和，*：對任意正整數，.

問題詳情：

已知無窮數列的首項，.

（Ⅰ）*：；

（Ⅱ） 記，為數列的前項和，*：對任意正整數，.

【回答】

(Ⅰ)見解析；(Ⅱ)見解析.

【解析】

試題分析; （I）運用數學歸納法推理論*，

（Ⅱ）由已知，即，可得數列為遞增數列．

又，易知為遞減數列，

則也為遞減數列，故當時，   

所以當時， 

當時，，成立；

當時，利用裂項求和法即可得*

試題解析：（Ⅰ）*：①當時顯然成立；

②假設當時不等式成立，即，

那麼當時， ，所以，

即時不等式也成立.

綜合①②可知，對任意成立.

（Ⅱ），即，所以數列為遞增數列．

又，易知為遞減數列，

所以也為遞減數列，

所以當時，   

所以當時， 

當時，，成立；

當時， 

綜上，對任意正整數，

知識點：數列

題型：解答題