設F是橢圓＋＝1(a＞0，且a≠2)的一焦點，長為3的線段AB的兩個端點在橢圓上移動．則當AF·BF取得最大值...

問題詳情：

設F是橢圓＋＝1(a＞0，且a≠2)的一焦點，長為3的線段AB的兩個端點在橢圓上移動．則當AF·BF取得最大值時，a的值是       ．

【回答】

 或．

【分析】當a＞2時，設橢圓的另外一個焦點為F′，聯結AF′，BF′．

則AF′＋BF′≥|AB|＝3．故AF＋BF＝4a－(AF′＋BF′)≤4 a－3．

所以AF·BF≤()2≤()2．若且唯若線段AB過點F′，且AF＝BF＝時，

上式等號成立，此時，AB⊥x軸，且AB過點F′．於是

4c2＝|FF′|2＝()2－()2＝4a2－6a，即c2＝a2－a．

則a2＝4＋(a2－a)，得a＝．類似地，當0＜a＜2時，可得a＝．

知識點：圓錐曲線與方程

題型：填空題