已知圓心為C(-2,6)的圓經過點M(0,6-2).(1)求圓C的標準方程;(2)若直線l過點P(0,5)且被...
問題詳情:
已知圓心為C(-2,6)的圓經過點M(0,6-2).
(1)求圓C的標準方程;
(2)若直線l過點P(0,5)且被圓C截得的線段長為4,求直線l的方程;
(3)是否存在斜率是1的直線l′,使得以l′被圓C所截得的弦EF為直徑的圓經過原點?若存在,試求出直線l′的方程;若不存在,請說明理由.
【回答】
(1)圓C的半徑為|CM|==4,
∴圓C的標準方程為(x+2)2+(y-6)2=16.......................4分
(2)方法一 如圖所示,設直線l與圓C交於A,B兩點且D是AB的中點,則|AB|=4,|AD|=2且CD⊥AB.
∵圓C的半徑為4,即|AC|=4,
∴在Rt△ACD中,可得|CD|==2,
即點C到直線l的距離為2.
(i)當所求直線l的斜率存在時,設所求直線的方程為y=kx+5,即kx-y+5=0.
由點到直線的距離公式得=2,
解得k=.
∴此時直線l的方程為3x-4y+20=0.
(ii)當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0.
將x=0代入(x+2)2+(y-6)2=16,得(y-6)2=16-4=12,y-6=±2,
∴y1=6+2,y2=6-2,|y1-y2|=4,
∴方程為x=0的直線也滿足題意,
∴所求直線l的方程為3x-4y+20=0或x=0.
方法二 當所求直線l的斜率存在時,設所求直線的方程為y=kx+5,即kx-y+5=0.
聯立直線與圓C的方程
消去y得(1+k2)x2+(4-2k)x-11=0,①
設方程①的兩根為x1,x2,
由根與係數的關係得②
由弦長公式得|x1-x2|=
=4,③
將②式代入③,並解得k=,
此時直線l的方程為3x-4y+20=0.
當直線l的斜率不存在時,直線l的方程為x=0,
仿方法一驗算得方程為x=0的直線也滿足題意.
∴所求直線l的方程為3x-4y+20=0或x=0
(3)方法一 假設存在直線l′滿足題設條件,設l′的方程為y=x+m,則EF的中點N是兩直線y=x+m與y-6=-(x+2)的交點,即N(,),
∴|CN|==.
∵以EF為直徑的圓經過原點,∴OE⊥OF,
∴|EN|=|ON|=,
又∵CN⊥EF,|CE|2=|CN|2+|EN|2,
∴2+2+2=16,化簡得m2-8m+24=0.
∵方程m2-8m+24=0沒有實數解,
∴不存在滿足題設條件的直線l′.
方法二 假設存在直線l′滿足題設條件,並設l′的方程為y=x+m,點E(x3,y3),點F(x4,y4),聯立直線與圓C的方程
消去y得2x2+2(m-4)x+m2-12m+24=0.
由根與係數的關係得④
∵以EF為直徑的圓經過原點,∴OE⊥OF.
若E、F中有一點在y軸上,則另一點必在x軸上,而在圓C的方程中令y=0可得x無實數解,故本情況不會出現.
∴·=-1,即x3x4+y3y4=0,
∴x3x4+(x3+m)(x4+m)=0,
化簡得2x3x4+(x3+x4)m+m2=0,
以④代入並化簡得m2-8m+24=0.
∵方程m2-8m+24=0沒有實數解,
∴不存在滿足題設條件的直線l′
知識點:圓與方程
題型:解答題
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