在任意n（n＞1且為整數）位正整數K的首位後新增6得到的新數叫做K的“順數”，在K的末位前新增6得到的新數叫做...

問題詳情：

在任意n（n＞1且為整數）位正整數K的首位後新增6得到的新數叫做K的“順數”，在K的末位前新增6得到的新數叫做K的“逆數”．若K的“順數”與“逆數”之差能被17整除，稱K是“最佳拍檔數”．比如1324的“順數”為16324，1324的“逆數”為13264，1324的“順數”與“逆數”之差為16324﹣13264＝3060，3060÷17＝180，所以1324是“最佳拍檔數”．

（1）請根據以上方法判斷31568　   　（填“是”或“不是”）“最佳拍檔數”；若一個首位是5的四位“最佳拍檔數”N，其個位數字與十位數字之和為8，且百位數字不小於十位數字，求所有符合條件的N的值．

（2）*：任意三位或三位以上的正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除．

【回答】

（1）解：31568的“順數”為361568，31568的“逆數”為315668，31568的“順數”與“逆數”之差為361568﹣315668＝45900，45900÷17＝2700，所以31568是“最佳拍檔數”；

設“最佳拍檔數”N的十位數字為x，百位數字為y，則個位數字為8﹣x，y≥x，

N＝5000+100y+10x+8﹣x＝100y+9x+5008，

∵N是四位“最佳拍檔數”，

∴50000+6000+100y+10x+8﹣x﹣[50000+1000y+100x+60+8﹣x]，

＝6000+100y+9x+8﹣1000y﹣100x﹣68+x，

＝5940﹣90x﹣900y，

＝90（66﹣x﹣10y），

∴66﹣x﹣10y能被17整除，

①x＝2，y＝3時，66﹣x﹣10y＝34，能被17整除，此時N為5326；

②x＝3，y＝8時，66﹣x﹣10y＝﹣17，能被17整除，此時N為5835；

③x＝5，y＝1時，66﹣x﹣10y＝51，能被17整除，但x＞y，不符合題意；

④x＝6，y＝6時，66﹣x﹣10y＝0，能被17整除，此時N為5662；

⑤x＝8，y＝3時，66﹣x﹣10y＝28，不能被17整除，但x＞y，不符合題意；

⑥當x＝9，y＝4時，66﹣x﹣10y＝17，能被17整除，但x＞y，不符合題意；

綜上，所有符合條件的N的值為5326，5835，5662；

故*為：是；

（2）*：設三位正整數K的個位數字為x，十位數字為y，百位數字為z，

它的“順數”：1000z+600+10y+x，

它的“逆數”：1000z+100y+60+x，

∴（1000z+600+10y+x）﹣（1000z+100y+60+x）＝540﹣90y＝90（6﹣y），

∴任意三位正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除，

設四位正整數K的個位數字為x，十位數字為y，百位數字為z，千位數字為a，

∴（10000a+6000+100z+10y+x）﹣（10000a+1000z+100y+60+x）＝5940﹣900z﹣90y＝90（66﹣10z﹣y），

∴任意四位正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除，

同理得：任意三位或三位以上的正整數K的“順數”與“逆數”之差一定能被30整除．

【點評】本題主要考查了“順數”、“逆數”、“最佳拍檔數”的定義及應用，熟練掌握幾位數的表示方法，理解新定義，計算“順數”與“逆數”之差，分解因式是解題的關鍵．

知識點：實際問題與一元一次方程

題型：解答題