小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼檯燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關係可近...

問題詳情：

小明投資銷售一種進價為每件20元的護眼檯燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關係可近似的看作一次函式：y=﹣10x+500，在銷售過程中銷售單價不低於成本價，而每件的利潤不高於成本價的60%．

（1）設小明每月獲得利潤為w（元），求每月獲得利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函式關係式，並確定自變數x的取值範圍．

（2）當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利潤？每月的最大利潤是多少？

（3）如果小明想要每月獲得的利潤不低於2000元，那麼小明每月的成本最少需要多少元？（成本=進價×銷售量）

【回答】

解：（1）由題意，得：w=（x﹣20）•y=（x﹣20）•（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000，即w=﹣10x2+700x﹣10000（20≤x≤32）

（2）對於函式w=﹣10x2+700x﹣10000的圖象的對稱軸是直線．

又∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下．∴當20≤x≤32時，W隨著X的增大而增大，

∴當x=32時，W=2160

答：當銷售單價定為32元時，每月可獲得最大利潤，最大利潤是2160元．

（3）取W=2000得，﹣10x2+700x﹣10000=2000

解這個方程得：x1=30，x2=40．

∵a=﹣10＜0，拋物線開口向下．

∴當30≤x≤40時，w≥2000．

∵20≤x≤32

∴當30≤x≤32時，w≥2000．

設每月的成本為P（元），由題意，得：P=20（﹣10x+500）=﹣200x+10000

∵k=﹣200＜0，

∴P隨x的增大而減小．

∴當x=32時，P的值最小，P最小值=3600．

答：想要每月獲得的利潤不低於2000元，小明每月的成本最少為3600元．

知識點：實際問題與二次函式

題型：解答題