如圖,P為等邊三角形ABC內的一點,且P到三個頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,則△ABC的面積為( )...
問題詳情:
如圖,P為等邊三角形ABC內的一點,且P到三個頂點A,B,C的距離分別為3,4,5,則△ABC的面積為( )
A. B. C. D.
【回答】
A【考點】R2:旋轉的*質;KK:等邊三角形的*質;KS:勾股定理的逆定理.
【分析】將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA,根據旋轉的*質得BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,則△BPE為等邊三角形,得到PE=PB=4,∠BPE=60°,在△AEP中,AE=5,延長BP,作AF⊥BP於點FAP=3,PE=4,根據勾股定理的逆定理可得到△APE為直角三角形,且∠APE=90°,即可得到∠APB的度數,在直角△APF中利用三角函式求得AF和PF的長,則在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的長,進而求得三角形ABC的面積.
【解答】解:∵△ABC為等邊三角形,
∴BA=BC,
可將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得△BEA,連EP,且延長BP,作AF⊥BP於點F.如圖,
∴BE=BP=4,AE=PC=5,∠PBE=60°,
∴△BPE為等邊三角形,
∴PE=PB=4,∠BPE=60°,
在△AEP中,AE=5,AP=3,PE=4,
∴AE2=PE2+PA2,
∴△APE為直角三角形,且∠APE=90°,
∴∠APB=90°+60°=150°.
∴∠APF=30°,
∴在直角△APF中,AF=AP=,PF=AP=.
∴在直角△ABF中,AB2=BF2+AF2=(4+)2+()2=25+12.
則△ABC的面積是•AB2=•(25+12)=.
故選:A.
【點評】本題考查了等邊三角形的判定與*質、勾股定理的逆定理以及旋轉的*質:旋轉前後的兩個圖形全等,對應點與旋轉中心的連線段的夾角等於旋轉角,對應點到旋轉中心的距離相等.
知識點:各地會考
題型:選擇題
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