如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們...

問題詳情：

如圖，點P、Q分別是邊長為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動點，點P從頂點A，點Q從頂點B同時出發，且它們的速度都為1cm/s，下面四個結論正確的有(     )個．

①BP=CM；②△ABQ≌△CAP；③∠CMQ的度數不變，始終等於60°；④當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形．

A．1    B．2    C．3    D．4

【回答】

C【考點】全等三角形的判定與*質；等邊三角形的*質．

【專題】計算題；動點型．

【分析】由三角形ABC為等邊三角形，得到三邊相等，且內角為60°，根據題意得到AP=BQ，利用SAS得到三角形ABQ與三角形CAP全等；由全等三角形對應角相等得到∠AQB=∠CPA，利用三角形內角和定理即可確定出∠CMQ的度數不變，始終等於60°；分∠QPB與∠PQB為直角兩種情況求出t的值，即可作出判斷．

【解答】解：BP不一定等於CM，選項①錯誤；

根據題意得：AP=BQ=t，

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=AC，

在△ABQ和△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP（SAS），選項②正確；

∴∠AQB=∠CPA，

在△APM中，∠PMA=180°﹣∠APM﹣∠PAM，

∵∠CMQ=∠PMA=180°﹣∠APM﹣∠PAM，

在△ABQ中，∠ABQ=60°，

∴∠AQB+∠BAQ=120°，

∴∠PAM+∠APM=120°，

∴∠CMQ=∠PMA=60°，選項③正確；

若∠PQB=90°，由∠PBQ=60°，得到PB=2BQ，即4﹣t=2t，

解得：t=；

若∠QPB=90°，由∠PBQ=60°，得到BQ=2PB，即t=2（4﹣t），

解得：t=，

綜上，當第秒或第秒時，△PBQ為直角三角形，選項④正確，

故選C

【點評】此題考查了全等三角形的判定與*質，等邊三角形的*質，以及直角三角形的*質，熟練掌握全等三角形的判定與*質是解本題的關鍵．

知識點：三角形全等的判定

題型：選擇題