（1）某學校“智慧方園”數學社團遇到這樣一個題目：如圖1，在△ABC中，點O線上段BC上，∠BAO=30°，∠...

問題詳情：

（1）某學校“智慧方園”數學社團遇到這樣一個題目：

如圖1，在△ABC中，點O線上段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的長．

經過社團成員討論發現，過點B作BD∥AC，交AO的延長線於點D，通過構造△ABD就可以解決問題（如圖2）．

請回答：∠ADB=　   　°，AB=　   　．

（2）請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3，在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交於點O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的長．

【回答】

（1）75；4；（2）CD=4．

【解析】

【分析】

（1）根據平行線的*質可得出∠ADB=∠OAC=75°，結合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的*質可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角對等邊可得出AB=AD=4，此題得解；

（2）過點B作BE∥AD交AC於點E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的長度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的長，此題得解．

【詳解】

解：（1）∵BD∥AC，

∴∠ADB=∠OAC=75°．

∵∠BOD=∠COA，

∴△BOD∽△COA，

∴．

又∵AO=3，

∴OD=AO=，

∴AD=AO+OD=4．

∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，

∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，

∴AB=AD=4．

（2）過點B作BE∥AD交AC於點E，如圖所示．

∵AC⊥AD，BE∥AD，

∴∠DAC=∠BEA=90°．

∵∠AOD=∠EOB，

∴△AOD∽△EOB，

∴．

∵BO：OD=1：3，

∴．

∵AO=3，

∴EO=，

∴AE=4．

∵∠ABC=∠ACB=75°，

∴∠BAC=30°，AB=AC，

∴AB=2BE．

在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，

解得：BE=4，

∴AB=AC=8，AD=12．

在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+122=CD2，

解得：CD=4．

【點睛】

本題考查了相似三角形的*質、等腰三角形的判定與*質、勾股定理以及平行線的*質，解題的關鍵是：（1）利用相似三角形的*質求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的長度．

知識點：相似三角形

題型：解答題