如圖所示,四個半徑為1,且完全相同的均質光滑圓球,將它們擺為上下兩層且彼此相切,下層三個球、、質量均為,放置在...
問題詳情:
如圖所示,四個半徑為1,且完全相同的均質光滑圓球,將它們擺為上下兩層且彼此相切,下層三個球、、質量均為,放置在光滑水平面上,上層球的質量為下邊三個球質量之和.試分析:
(1)若將下層三個球用一根繩子在球心高度處纏繞,把三個球捆紮在一起,再將第四個球放在上層,問:靜止情況下張力為多大?
(2)若在圖所示的位置突然剪斷繩子,四個球由靜止開始運動,問:上下層球在什麼位置處開始脫離?
(3)問:上層球第一次落到桌面時,下層三個球的質心運動後所組成等邊三角形的邊長為多大?
【回答】
(1)(2)時上下層球開始脫離(3)
【解析】
設下層球的質量均為,則上層球的質量為.、、、分別為下層球和上層球的球心,為下層球心組成三角形的形心,為與的夾角,如圖所示.
(1)系統靜止時,由幾何關係可知,.
對上層球進行受力分析,如圖所示,列方向平衡方程有
,. ①
圖3
對下層球進行受力分析,如圖所示,列方向平衡方程有
,. ②
聯立式①②,可得系統靜止時繩子拉力為.
(2)開始時上下層球心的連線與水平方向夾角為,剪斷繩子後在位置,設下層球心水平速度為,加速度為,上層球球心下落的速度為,加速度為.
兩球脫離前.
由系統的動能定理,有.
整理可得, ③
由剛體運動學原理,上下層球脫離前,下層任一球與上層球球心的加速度之間有如下關係:
. ④
設上層球與下層三球間的相互作用力為,對上層球分析,由質心運動定理有
. ⑤
對下層任一球進行分析,由質心運動定理有
. ⑥
由式③⑥,可得上下層球相互作用力為
. ⑦
上下層球脫離條件為,由式⑦得.
即當時上下層球開始脫離
(3)上下層球脫離後,上層與下層球球心的距離始終大於2,上下兩層球不再相碰,將代人式③,可以求出脫離時上層球心的速度為
. ⑧
此時,下層球的質心速度為
. ⑨
運動後,下層球心到靜正時下層球心圍成的等邊三角形中心的距離為
. ⑩
上層球心到桌面間的距離為
. ⑪
由式⑧⑪,脫離後上層球接觸桌面所需的時間為
. ⑫
由式⑨⑫,下層球心在這段時間內又運動距離為
. ⑬
由式⑩⑬,當上層球第一次與桌面接觸時,下層三個球的質心所組成的等邊三角形的邊長是
知識點:物理競賽
題型:解答題
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