已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為M（1，9），經過拋物線上的兩點A（﹣3，﹣7）和B（...

問題詳情：

已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為M（1，9），經過拋物線上的兩點A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直線交拋物線的對稱軸於點C．

（1）求拋物線的解析式和直線AB的解析式．

（2）在拋物線上A、M兩點之間的部分（不包含A、M兩點），是否存在點D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出點D的座標；若不存在，請說明理由．

（3）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，當以點A，M，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出滿足條件的點P的座標．

【回答】

解：（1）二次函式表示式為：y＝a（x﹣1）2+9，

將點A的座標代入上式並解得：a＝﹣1，

故拋物線的表示式為：y＝﹣x2+2x+8…①，

則點B（3，5），

將點A、B的座標代入一次函式表示式並解得：

直線AB的表示式為：y＝2x﹣1；

（2）存在，理由：

二次函式對稱軸為：x＝1，則點C（1，1），

過點D作y軸的平行線交AB於點H，

設點D（x，﹣x2+2x+8），點H（x，2x﹣1），

∵S△DAC＝2S△DCM，

則S△DAC＝DH（xC﹣xA）＝（﹣x2+2x+8﹣2x+1）（1+3）＝（9﹣1）（1﹣x）×2，

解得：x＝﹣1或5（捨去5），

故點D（﹣1，5）；

（3）設點Q（m，0）、點P（s，t），t＝﹣s2+2s+8，

①當AM是平行四邊形的一條邊時，

點M向左平移4個單位向下平移16個單位得到A，

同理，點Q（m，0）向左平移4個單位向下平移16個單位為（m﹣4，﹣16），即為點P，

即：m﹣4＝s，﹣6＝t，而t＝﹣s2+2s+8，

解得：s＝6或﹣4，

故點P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）；

②當AM是平行四邊形的對角線時，

由中點公式得：m+s＝﹣2，t＝2，而t＝﹣s2+2s+8，

解得：s＝1，

故點P（1，2）或（1﹣，2）；

綜上，點P（6，﹣16）或（﹣4，﹣16）或（1，2）或（1﹣，2）．

知識點：各地會考

題型：綜合題