已知橢圓的兩個焦點為、,是與的等差中項,其中、、都是正數,過點和的直線與原點的距離為.(1)求橢圓的方程;(2...
問題詳情:
已知橢圓的兩個焦點為、,是與的等差中項,其中、、都是正數,過點和的直線與原點的距離為.
(1)求橢圓的方程;
(2)(文)過點作直線交橢圓於另一點,求長度的最大值;
(3)已知定點,直線與橢圓交於、相異兩點.*:對任意的,都存在實數,使得以線段為直徑的圓過點.
【回答】
解:(1)在橢圓中,由已知得·············· 1分
過點和的直線方程為,即,該直線與原點的距離為,由點到直線的距離公式得:·························· 3分
解得:;所以橢圓方程為··············· 4分
(2)(文)設,則,,其中 6分
當時,取得最大值,所以長度的最大值為········ 9分
(3)將代入橢圓方程,得,由直線與橢圓有兩個交點,所以,解得············· 11分
設、,則,,因為以為直徑的圓過點,所以,即,······················· 13分
而=,所以
,解得········ 14分
如果對任意的都成立,則存在,使得以線段為直徑的圓過點.
,即.所以,對任意的,都存在,使得以線段為直徑的圓過點. 16分
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題
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