聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．舉例：如...

問題詳情：

聯想三角形外心的概念，我們可引入如下概念．

定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．

舉例：如圖1，若PA＝PB，則點P為△ABC的準外心．

應用：如圖2，CD為等邊三角形ABC的高，準外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB的度數．

探究：已知△ABC為直角三角形，斜邊BC＝5，AB＝3，準外心P在AC邊上，試探究PA的長．

【回答】

解：應用：①若PB＝PC，連線PB，則∠PCB＝∠PBC.

∵CD為等邊三角形的高，

∴AD＝BD，∠PCB＝30°，

∴∠PBD＝∠PBC＝30°，

∴PD＝DB＝AB，

與已知PD＝AB矛盾，∴PB≠PC.

②若PA＝PC，連線PA，同理可得PA≠PC.

③若PA＝PB，由PD＝AB，得PD＝AD，

∴∠APD＝45°，∴∠APB＝90°.

探究：∵BC＝5，AB＝3，

①若PB＝PC，設PA＝x，則x2＋32＝(4－x)2，

解得x＝，即PA＝.

②若PA＝PC，則PA＝2.

③若PA＝PB，由圖知，在Rt△PAB中，PA為直角邊，PB為斜邊，

∴PA≠PB.

綜上所述，PA＝2或.

知識點：勾股定理

題型：解答題