如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D為AB的中點，/EDF＝90°，DE交AC於點G，...

問題詳情：

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，D為AB的中點，/EDF＝90°，DE交AC於點G，DF經過點C．

（1）求/ADE的度數；

（2）如圖2，將圖1中的∠EDF繞點D順時針方向旋轉角α（0°<α<60°），旋轉過程中的任意兩個位置分別記為∠E1DF1，∠E2DF2，DE1交直線AC於點P，DF1交直線BC於點Q，DE2交直線AC於點M，DF2交直線BC於點N，求的值；

（3）若圖1中∠B＝β（60°<β<90°），（2）中的其餘條件不變，請直接寫出的值（用含β的式子表示）．

【回答】

【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，D為AB的中點，

∴CD=DB，

∴∠DCB=∠B.

∵∠B=60°，

∴∠DCB=∠B=∠CDB=60°∴∠CDA=120°.

∵∠EDC=90°，

∴∠ADE=30°；

（2）∵∠C=90°，∠MDN=90°，

∴∠DMC+∠CND=180°.

∵∠DMC+∠PMD=180°，

∴∠CND=∠PMD.

同理∠CPD=∠DQN.

∴△PMD∽△QND.

過點D分別做DG⊥AC於G，DH⊥BC於H.

可知DG，DH分別為△PMD和△QND的高.

∴

∵DG⊥AC於G，DH⊥BC於H，

∴DG∥BC.

又∵D為AB中點，

∴G為AC中點.

∵∠C=90°，

∴四邊形CGDH 為矩形，有CG=DH=AG，

Rt△AGD中，.

即.

（3）=tan（90°﹣β）（=.

知識點：相似三角形

題型：解答題