在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C1：＋＝1(a>b>0)的左焦點為F1(－1,0)，且點P(0...

問題詳情：

在平面直角座標系xOy中，已知橢圓C1：

＋

＝1(a>b>0)的左焦點為F1(－1,0)，且點P(0,1)在C1上．

(1)求橢圓C1的方程；

(2)設直線l同時與橢圓C1和拋物線C2：y2＝4x相切，求直線l的方程．

【回答】

解　(1)因為橢圓C1的左焦點為F1(－1,0)，所以c＝1.

把點P(0,1)代入橢圓

＋

＝1，得

＝1，即b＝1，

所以a2＝b2＋c2＝2.

所以橢圓C1的方程為

＋y2＝1.

(2)由題意可知，直線l的斜率顯然存在，且不等於0，設直線l的方程為y＝kx＋m.

聯立

消去y並整理得

(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

因為直線l與橢圓C1相切，

所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，

整理得2k2－m2＋1＝0.①

聯立

消去y並整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.

因為直線l與拋物線C2相切，

所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.

整理得km＝1.②

綜合①②，解得

或

所以直線l的方程為y＝

x＋

或y＝－

x－

.

知識點：圓錐曲線與方程

題型：解答題