如图:在三棱锥D-ABC中,已知是正三角形,AB平面BCD,,E为BC的中点,F在棱AC上,且(1)求三棱锥D...
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如图:在三棱锥D-ABC中,已知是正三角形,AB平面BCD,,E为BC的中点,F在棱AC上,且
(1)求三棱锥D-ABC的表面积;
(2)求*AC⊥平面DEF;
(3)若M为BD的中点,问AC上是否存在一点N,使MN∥平面DEF?若存在,说明点N的位置;若不存在,试说明理由.
【回答】
解:(1)∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC,AB⊥BD.
∵△BCD是正三角形,且AB=BC=a,∴AD=AC=.
设G为CD的中点,则CG=,AG=.
∴,,.
三棱锥D-ABC的表面积为.……………..4分
(2)取AC的中点H,∵AB=BC,∴BH⊥AC.
∵AF=3FC,∴F为CH的中点.
∵E为BC的中点,∴EF∥BH.则EF⊥AC.
∵△BCD是正三角形,∴DE⊥BC.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥DE.
∵AB∩BC=B,∴DE⊥平面ABC.∴DE⊥AC.
∵DE∩EF=E,∴AC⊥平面DEF.[。 …..8分
(3)存在这样的点N,当CN=时,MN∥平面DEF.
连CM,设CM∩DE=O,连OF.由条件知,O为△BCD的重心,CO=CM.
∴当CF=CN时,MN∥OF.∴CN=……….12分
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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