.已知非常數函數的定義域為,如果存在正數,使得,都有恆成立,則稱函數具有*質T.(Ⅰ)判斷下列函數是否具有*質...
問題詳情:
.已知非常數函數的定義域為,如果存在正數,使得,都有恆成立,則稱函數具有*質T.
(Ⅰ)判斷下列函數是否具有*質T ?並説明理由;
① ;②.
(Ⅱ)若函數具有*質T,求的最小值;
(Ⅲ)設函數具有*質T,且存在,使得,都有成立,求*:是周期函數.
【回答】
【詳解】(Ⅰ)函數不具有*質T,函數具有*質T.理由如下:
①假設函數具有*質T,即存在正數,使得恆成立.
則 對恆成立.
所以 此方程組無解,與存在正數矛盾.
所以 函數不具有*質T.
②取,則,
即對恆成立.
所以 函數具有*質T.
(Ⅱ)因為函數具有*質T,
所以存在正數,使得,都有恆成立.
令,則對恆成立.
若,取,則,矛盾;
若,取,則,即,矛盾;
所以
則 若且唯若時,對恆成立.
因為 , 所以 .
所以 當時,函數具有*質T.
所以 的最小值是.
(Ⅲ)因為 函數具有*質T,
所以 存在正數,使得,恆成立.
所以 ,以此類推可得.
用代替,可得
因為 不是常數函數,
所以 存在,使得.
若,則.
所以 .
因為 存在,使得,都有成立,
取,則,矛盾.
若,則.
同上可知存在,使得,矛盾.
所以 .
所以對,.
所以是週期為1的函數.
知識點:三角函數
題型:綜合題
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