已知函數,(,).(1)當時,①若函數與在處的切線均為,求的值;②若曲線與有且僅有一個公共點,求的取值範圍;(...
問題詳情:
已知函數,(,).
(1)當時,
① 若函數與在處的切線均為,求的值;
② 若曲線與有且僅有一個公共點,求的取值範圍;
(2)當時,設,若函數存在兩個不同的零點
求*:.
【回答】
解:(1)當時,,所以,.
① 由題意,切線的斜率,即,所以. …… 2分
② 設函數,.
“曲線與有且僅有一個公共點”等價於“函數有且僅有
一個零點”.
求導,得.
(ⅰ)當時,由,得,所以函數在單調遞減.
因為,所以函數有且僅有一個零點1,符合題意. …… 5分
(ⅱ)當時,,
當變化時,與的變化情況列表如下:
0 | |||
↗ | 極大值 | ↘ |
所以函數在上單調遞增,在上單調遞減,
所以當時,.
注意到,且,
若,則,所以函數有且僅有一個零點1,符合題意.
若,取 ,,
所以函數存在兩個零點,一個為1,另一個在,與題意不符.
若,取,
由於,
所以函數存在兩個零點,一個為1,另一個在,與題意不符.
綜上,曲線與有且僅有一個公共點時,的取值範圍是
或. …… 9分
(2)當時,.
因為,所以,
即.
令,則,
當時,,當時,,
所以在上遞增,在上遞減,
所以在處有極大值,所以.
令,, …… 12分
則,
所以在上單調遞增,從而,
所以,
而在上遞減,且,
所以,即. …… 16分
知識點:基本初等函數I
題型:解答題
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