已知函數在點處的切線方程為.(1)若函數在時有極值,求的解析式;(2)函數在區間上單調遞增,求實數的取值範圍.
問題詳情:
已知函數在點處的切線方程為.
(1)若函數在時有極值,求的解析式;
(2)函數在區間上單調遞增,求實數的取值範圍.
【回答】
解 f′(x)=-3x2+2ax+b,函數f(x)在x=1處的切線斜率為-3,
所以f′(1)=-3+2a+b=-3,即2a+b=0, ①
又f(1)=-1+a+b+c=-2得a+b+c=-1. ②
(1)函數f(x)在x=-2時有極值,
所以f′(-2)=-12-4a+b=0, ③
由①②③解得a=-2,b=4,c=-3,所以f(x)=-x3-2x2+4x-3.
(2)因為函數f(x)在區間[-2,0]上單調遞增,所以導函數f′(x)=-3x2-bx+b在區間[-2,0]上的值恆大於或等於零,則
得b≥4,所以實數b的取值範圍是[4,+∞).
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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