如圖,三棱錐的側面是等腰直角三角形,,,,且.(1)求*:平面平面;(2)求二面角的餘弦值.
問題詳情:
如圖,三棱錐的側面是等腰直角三角形,,,
,且.
(1)求*:平面平面;
(2)求二面角的餘弦值.
【回答】
解:(1)*:如圖,取BD中點E,連結、,················ 1分
因爲是等腰直角三角形,
所以,··························· 2分
設,則,···················· 3分
在中,由余弦定理得:
,············ 4分
因爲,,
所以,即,·················· 5分
又,,
所以平面,
所以平面平面;···················· 6分
(2)解法一:過點E在平面內作交於點F,由(I)知平面,
分別以爲x軸,y軸,z軸建立如圖空間直角座標系,····· 7分
不妨設,
則:,············· 8分
則,,,·········· 9分
設平面的法向量,
則,取,··········· 10分
設平面的法向量,
則,取,········ 11分
所以,
因爲二面角的平面角是銳角,
所以二面角的餘弦值爲.······························· 12分
解法二:過點D作DN⊥AC於點N,
設D在平面ABC上的*影爲M,連接MN,
則AC⊥MN,所以∠DNM爲所求二面角的平面角,·············································· 7分
設AB=1,則AD=1,BD=CD=,AC=2,BC=,
在△ADC中,cos∠DAC=,
所以DN=,································ 8分
在△ABC中,cos∠BAC=,所以sin∠BAC=,········································· 9分
由,
所以,
即,························································ 11分
在△DMN中,sin∠DNM=,
所以cos∠DNM=,
所以二面角的餘弦值爲.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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