如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.(I)求*:为直角三角...
问题详情:
如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且.
(I)求*:为直角三角形;
(II)试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.
【回答】
【解析】(I)取中点,连结,依题意可知均为正三角形,所以,
又平面平面,
所以平面,
又平面,所以,
因为,所以,即,
从而为直角三角形.
说明:利用 平面*正确,同样满分!
(II)[向量法]由(I)可知,又平面平面,平面平面,
平面,所以平面.
以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则
,
由可得点的坐标
所以,
设平面的法向量为,则,
即解得,
令,得,
显然平面的一个法向量为,
依题意,
解得或(舍去),
所以,当时,二面角的余弦值为.
[传统法]由(I)可知平面,所以,
所以为二面角的平面角,
即,
在中,,
所以
,
由正弦定理可得,即
解得,
又,所以,
所以,当时,二面角的余弦值为.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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