如圖，直線AB：y=-x-b分別與x、y軸交於A（6，0）、B兩點，過點B的直線交x軸負半軸於點C，且OB：O...

問題詳情：

如圖，直線AB：y=-x-b分別與x、y軸交於A（6，0）、B兩點，過點B的直線交x軸負半軸於點C，且OB：OC=3：1．

（1）求直線BC的解析式；

（2）如圖，P為A點右側x軸上的一動點，以P為直角頂點，BP為腰在第一象限內作等腰直角△BPQ，連線QA並延長交ｙ軸於點K，當P點運動時，K點的位置是否發現變化？若不變，請求出它的座標；如果變化，請說明理由．

【回答】

（1）y＝3x＋6（2）K點的位置不發生變化，K（0，−6），理由見解析

【分析】

（1）設BC的解析式是y＝ax＋c，由直線AB：y＝−x−b過A（6，0），可以求出b，因此可以求出B點的座標，再由已知條件可求出C點的座標，把B，C點的座標分別代入求出a和c的值即可；

（2）過Q作QH⊥x軸於H，首先*△BOP≌△PHQ，再分別*△AHQ和△AOK為等腰直角三角形，問題得解．

【詳解】

（1）由已知：0＝−6−b，

∴b＝−6，

∴AB：y＝−x＋6．

∴B（0，6），

∴OB＝6，

∵OB：OC＝3：1，

OC＝＝2，

∴C（−2，0），

設BC的解析式是y＝ax＋c，代入得，

解得：，

∴直線BC的解析式是：y＝3x＋6；

（2）K點的位置不發生變化，K（0，−6）．

過Q作QH⊥x軸於H，

∵△BPQ是等腰直角三角形，

∴∠BPQ＝90°，PB＝PQ，

∵∠BOA＝∠QHA＝90°，

∴∠BPO＝∠PQH，

∴△BOP≌△PHQ，

∴PH＝BO，OP＝QH，

∴PH＋PO＝BO＋QH，

即OA＋AH＝BO＋QH，

又OA＝OB，

∴AH＝QH，

∴△AHQ是等腰直角三角形，

∴∠QAH＝45°，

∴∠OAK＝45°，

∴△AOK為等腰直角三角形，

∴OK＝OA＝6，

∴K（0，−6）．

【點睛】

此題綜合考查了用待定係數法求一次函式的解析式、全等三角形的判定和全等三角形的*質，以及等腰直角三角形的判定和*質，解題的關鍵是正確求解析式以及藉助於函式圖象全面的分析問題．

知識點：一次函式

題型：解答題