如圖，在菱形中，，點E，F分別在，上，且，與相交於點G，與相交於點H．下列結論：①；②；③若，則；④．其中正確...

問題詳情：

如圖，在菱形中，，點E，F分別在，上，且，與相交於點G，與相交於點H．下列結論：①；②；③若，則；④．其中正確的結論有_______．（只填序號即可）

【回答】

①③④

【解析】

根據等邊三角形的*質*△ACF≌△CDE，可判斷①；過點F作FP∥AD，交CE於P點，利用平行線分線段成比例可判斷③；過點B作BM⊥AG於M，BN⊥GC於N，得到點A、B、C、G四點共圓，從而*△ABM≌△CBN，得到S四邊形ABCG=S四邊形BMGN，再利用S四邊形BMGN=2S△BMG求出結果即可判斷④；*△BCH∽△BGC，得到，推出GH·BG=BG2-BC2，得出若等式成立，則∠BCG=90°，根據題意此條件未必成立可判斷②．

【詳解】

解：∵ABCD為菱形，

∴AD=CD，

∵AE=DF，

∴DE=CF，

∵∠ADC=60°，

∴△ACD為等邊三角形，

∴∠D=∠ACD=60°，AC=CD，

∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正確；

過點F作FP∥AD，交CE於P點．                   ∵DF=2CF， ∴FP：DE=CF：CD=1：3， ∵DE=CF，AD=CD， ∴AE=2DE， ∴FP：AE=1：6=FG：AG， ∴AG=6FG，

∴CE=AF=7GF，故③正確；

過點B作BM⊥AG於M，BN⊥GC於N，

∵∠AGE=∠ACG+∠CAF=∠ACG+∠GCF=60°=∠ABC， 即∠AGC+∠ABC=180°， ∴點A、B、C、G四點共圓， ∴∠AGB=∠ACB=60°，∠CGB=∠CAB=60°， ∴∠AGB=∠CGB=60°，

∴BM=BN，又AB=BC，

∴△ABM≌△CBN（HL），

∴S四邊形ABCG=S四邊形BMGN，

∵∠BGM=60°，

∴GM=BG，BM=BG，

∴S四邊形BMGN=2S△BMG=2××BG×BG=BG2，故④正確；

∵∠CGB=∠ACB=60°，∠CBG=∠HBC，

∴△BCH∽△BGC，

∴，

則BG·BH=BC2，

則BG·（BG-GH）=BC2，

則BG2-BG·GH= BC2，

則GH·BG=BG2-BC2，

當∠BCG=90°時，BG2-BC2=CG2，此時GH·BG= CG2，

而題中∠BCG未必等於90°，故②不成立，

故正確的結論有①③④，

故*為：①③④．

【點睛】

本題考查了菱形的*質，等邊三角形的判定與*質，全等三角形的判定和*質，相似三角形的判定和*質，作出輔助線構造出全等三角形，把不規則圖形的面轉化為兩個全等三角形的面積是解題的關鍵．

知識點：相似三角形

題型：填空題