已知：A、B兩點在直線l的同一側，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿...

問題詳情：

已知：A、B兩點在直線l的同一側，線段AO，BM均是直線l的垂線段，且BM在AO的右邊，AO=2BM，將BM沿直線l向右平移，在平移過程中，始終保持∠ABP=90°不變，BP邊與直線l相交於點P．

（1）當P與O重合時（如圖2所示），設點C是AO的中點，連線BC．求*：四邊形OCBM是正方形；

（2）請利用如圖1所示的情形，求*：=；

（3）若AO=2，且當MO=2PO時，請直接寫出AB和PB的長．

【回答】

【解答】解：（1）∵2BM=AO，2CO=AO

∴BM=CO，

∵AO∥BM，

∴四邊形OCBM是平行四邊形，

∵∠BMO=90°，

∴▱OCBM是矩形，

∵∠ABP=90°，C是AO的中點，

∴OC=BC，

∴矩形OCBM是正方形．

（2）連線AP、OB，

∵∠ABP=∠AOP=90°，

∴A、B、O、P四點共圓，

由圓周角定理可知：∠APB=∠AOB，

∵AO∥BM，

∴∠AOB=∠OBM，

∴∠APB=∠OBM，

∴△APB∽△OBM，

∴

（3）當點P在O的左側時，如圖所示，

過點B作BD⊥AO於點D，

易*△PEO∽△BED，

∴

易*：四邊形DBMO是矩形，

∴BD=MO，OD=BM

∴MO=2PO=BD，

∴，

∵AO=2BM=2，

∴BM=，

∴OE=，DE=，

易*△ADB∽△ABE，

∴AB2=AD•AE，

∵AD=DO=DM=，

∴AE=AD+DE=

∴AB=，

由勾股定理可知：BE=，

易*：△PEO∽△PBM，

∴=，

∴PB=

當點P在O的右側時，如圖所示，

過點B作BD⊥OA於點D，

∵MO=2PO，

∴點P是OM的中點，

設PM=x，BD=2x，

∵∠AOM=∠ABP=90°，

∴A、O、P、B四點共圓，

∴四邊形AOPB是圓內接四邊形，

∴∠BPM=∠A，

∴△ABD∽△PBM，

∴，

又易*四邊形ODBM是矩形，AO=2BM，

∴AD=BM=，

∴=，

解得：x=，

∴BD=2x=2

由勾股定理可知：AB=3，BM=3

知識點：各地會考

題型：解答題