如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為圓上的兩點，OC∥BD，弦AD，BC相交於點E．（1）求*：=；（2）若CE=...

問題詳情：

如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為圓上的兩點，OC∥BD，弦AD，BC相交於點E．（1）求*：=；（2）若CE=1，EB=3，求⊙O的半徑；（3）在（2）的條件下，過點C作⊙O的切線，交BA的延長線於點P，過點P作PQ∥CB交⊙O於F，Q兩點（點F線上段PQ上），求PQ的長．

【回答】

*：（1）∵OC=OB ∴∠OBC=∠OCB ∵OC∥BD ∴∠OCB=∠CBD ∴∠OBC=∠CBD ∴ （2）連線AC， ∵CE=1，EB=3， ∴BC=4 ∵ ∴∠CAD=∠ABC，且∠ACB=∠ACB ∴△ACE∽△BCA ∴ ∴AC2=CB•CE=4×1 ∴AC=2， ∵AB是直徑 ∴∠ACB=90° ∴AB==2 ∴⊙O的半徑為（3）如圖，過點O作OH⊥FQ於點H，連線OQ， ∵PC是⊙O切線， ∴∠PCO=90°，且∠ACB=90° ∴∠PCA=∠BCO=∠CBO，且∠CPB=∠CPA ∴△APC∽△CPB ∴ ∴PC=2PA，PC2=PA•PB ∴4PA2=PA×（PA+2） ∴PA= ∴PO= ∵PQ∥BC ∴∠CBA=∠BPQ，且∠PHO=∠ACB=90° ∴△PHO∽△BCA ∴ 即 ∴PH=，OH= ∴HQ== ∴PQ=PH+HQ= 【解析】

（1）由等腰三角形的*質和平行線的*質可得∠OBC=∠CBD，即可*=；（2）通過*△ACE∽△BCA，可得，可得AC=2，由勾股定理可求AB的長，即可求⊙O的半徑；（3）過點O作OH⊥FQ於點H，連線OQ，通過*△APC∽△CPB，可得，可求PA=，即可求PO的長，通過*△PHO∽△BCA，可求PH，OH的長，由勾股定理可求HQ的長，即可求PQ的長．本題考查了切線的*質，圓的有關知識，相似三角形的判定和*質，勾股定理，求出PA的長是本題的關鍵．