如圖,矩形硬紙片ABCD的頂點A在y軸的正半軸及原點上滑動,頂點B在x軸的正半軸及原點上滑動,點E為AB的中點...
問題詳情:
如圖,矩形硬紙片ABCD的頂點A在y軸的正半軸及原點上滑動,頂點B在x軸的正半軸及原點上滑動,點E為AB的中點,AB=24,BC=5.給出下列結論:①點A從點O出發,到點B運動至點O為止,點E經過的路徑長為12π;②△OAB的面積最大值為144;③當OD最大時,點D的座標為(,).其中正確的結論是 .(填寫序號)
【回答】
②③ .
【分析】①由條件可知AB=24,則AB的中點E的運動軌跡是圓弧,最後根據弧長公式即可計算出點E所經過的路徑長;②當△OAB的面積最大時,因為AB=24,所以△OAB為等腰直角三角形,即OA=OB,可求出最大面積為144;③當O、E、D三點共線時,OD最大,過點D作DF⊥y軸於點F,可求出OD=25,*△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA,可求出DF長,則D點座標可求出.
【解答】解:∵點E為AB的中點,AB=24,
∴OE=,
∴AB的中點E的運動軌跡是以點O為圓心,12為半徑的一段圓弧,
∵∠AOB=90°,
∴點E經過的路徑長為,故①錯誤;
當△OAB的面積最大時,因為AB=24,所以△OAB為等腰直角三角形,即OA=OB,
∵E為AB的中點,
∴OE⊥AB,OE=,
∴=144,故②正確;
如圖,當O、E、D三點共線時,OD最大,過點D作DF⊥y軸於點F,
∵AD=BC=5,AE=,
∴=13,
∴OD=DE+OE=13+12=25,
設DF=x,
∴,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴∠DFA=∠AOB,
∴∠DAF=∠ABO,
∴△DFA∽△AOB
∴,
∴,
∴,
∵E為AB的中點,∠AOB=90°,
∴AE=OE,
∴∠AOE=∠OAE,
∴△DFO∽△BOA,
∴,
∴,
解得x=,x=﹣捨去,
∴,
∴.故③正確.
知識點:各地會考
題型:填空題
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