如圖，在平面直角座標系中，O為原點，▱ABCD的頂點A在x軸正半軸上，點B在第一象限，OA=4，OC=2，點P...

問題詳情：

如圖，在平面直角座標系中，O為原點，▱ABCD的頂點A在x軸正半軸上，點B在第一象限，OA=4，OC=2，點P、點Q分別是邊BC、邊AB上的動點，△PQB沿PQ所在直線摺疊，點B落在點B1處．

（1）若▱OABC是矩形．

①寫出點B的座標．

②如圖1，若點B1落在OA上，且點B1的座標為（3，0），求點Q的座標．

（2）若OC⊥AC，如圖2，過點B1作B1F∥x軸，與對角線AC、邊OC分別交於點E、F．若B1F=3B1E，點B1的橫座標為m，求點B1的縱座標（用含m的代數式表示），並直接寫出點B1的所有可能的情況下，m的最大值和最小值．

【回答】

【考點】四邊形綜合題．

【分析】（1）①根據OA=4，OC=2，可得點B的座標；

②首先設AQ=x，由點B關於PQ的對稱點為B1，可得B1Q=BQ=2﹣x，然後由在Rt△AB1Q中，由AQ2+AB12=B1Q2，得方程：x2+1=（2﹣x）2，解此方程解可求得*；

（2）根據平行四邊形的*質，且分點線上段EF的延長線和線段上兩種情況進行分析求解可求得*．

【解答】解：（1）∵OA=4，OC=2，

∴點B的座標為（4，2）；

②設AQ=x，點B關於PQ的對稱點為B1，則B1Q=BQ=2﹣x，

∵點B1落在OA上，點B1（3，0），

∴OB1=3，

∴AB1=4﹣3=1，

在Rt△AB1Q中，由AQ2+AB12=B1Q2，

得：x2+1=（2﹣x）2，

解得：x=；

∴點Q的座標為：（4，）；

（2）∵四邊形OABC為平行四邊形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，

∴∠OAC=30°，

∴點C（1，），

∵B1F=3B1E，

∴點B1不與點E，F重合，也不線上段EF的延長線上，

①當點B1線上段FE的延長線上時，如圖2，延長B1F與y軸交於點G，點B1的橫座標為m，B1F∥x軸，

∵B1F=3B1E，

∴B1G=m，

設OG=a，

則GF=a，OF=a，

∴CF=2﹣a，

∴EF=4﹣a，B1E=2﹣a，

∴B1G=B1E+EF+FG=（2﹣a）+（4﹣a）+a=m，

∴a=﹣m+，即B1的縱座標為﹣m+，

m的取值範圍是≤m≤1+；

②當點B1線上段EF（除點E，F）上時，如圖3，延長B1F與y軸交於點G，點B1的橫座標為m，B1F∥x軸，

B1F=3B1E，

∴B1G=m，

設OG=a，

則GF=a，OF=a，

∴CF=2﹣a，

∴FE=4﹣，B1F=EF=3﹣a，

∴B1G=B1F+FG=（3﹣a）+a=m，

∴a=﹣m+，即點B1的縱座標為﹣m+，

故m的取值範圍是：≤m≤3．

∴m的最大值為：1+，最小值為：．

知識點：特殊的平行四邊形

題型：解答題