已知二次函式y=2x2+bx﹣1．（1）求*：無論b取什麼值，二次函式y=2x2+bx﹣1圖象與x軸必有兩個交...

問題詳情：

已知二次函式y=2x2+bx﹣1．

（1）求*：無論b取什麼值，二次函式y=2x2+bx﹣1圖象與x軸必有兩個交點．

（2）若兩點P（﹣3，m）和Q（1，m）在該函式圖象上．

①求b、m的值；

②將二次函式圖象向上平移多少單位長度後，得到的函式圖象與x軸只有一個公共點？

【回答】

【考點】拋物線與x軸的交點；二次函式圖象與幾何變換．

【分析】（1）先計算判別式的值，再利用非負數的*質可判斷△=＞0，然後根據判別式的意義可判斷拋物線與x軸必有兩個交點；

（2）①先利用拋物線的對稱*可確定拋物線的對稱軸方程，從而可求出b的值，然後計算自變數為1所對應的函式值即可得到m的值；

②設平移後拋物線的關係式為y=2x2+4x﹣1+k，根據判別式的意義△=0得到關於k的方程，然後解方程求出k的值即可判斷拋物線平移的距離．

【解答】（1）*：∵△=b2﹣4×2×（﹣1）=b2+8＞0，

∴無論b取何值時，二次函式y=2x2+b x﹣1圖象與x軸必有兩個交點；

（2）解：①∵點P、Q是二次函式y=2x2+bx﹣1圖象上的兩點，且兩點縱座標都為m

∴點P、Q關於拋物線對稱軸對稱，

∴拋物線對稱軸是直線x=﹣1，

∴﹣=﹣1，解得b=4，

∴拋物線解析式為y=2x2+4x﹣1，

當x=1時，m=2×12+4×1﹣1=5；

②設平移後拋物線的關係式為y=2x2+4x﹣1+k，

∵平移後的圖象與x軸僅有一個交點，

∴△=16+8﹣8 k=0，解得k=3，

即將二次函式圖象向上平移3個單位時，函式圖象與x軸僅有一個公共點．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：解答題